множества, в которых каким-либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят, что для пары элементов х, у множества М установлен порядок, если указано, который из этих элементов следует за другим (если у следует за х или, что то же самое, х предшествует у, то пишут х π у, у х). Говорят, что в множестве М установлен частичный порядок следования элементов, если для некоторых пар его элементов установлен порядок, причём выполнены следующие условия: 1) никакой элемент не следует сам за собой; 2) если х π у и у π z, то х π z (транзитивность отношения порядка). Может случиться, что в частично упорядоченном множестве М порядок не установлен ни для какой пары элементов М. С др. стороны, может случиться, что порядок установлен для всех пар различных элементов М, в этом случае частичный порядок следования элементов, установленный в множестве М, называют просто порядком следования элементов, или линейным порядком (упорядоченные множества, таким образом, являются видом частично упорядоченных множеств). Например, будем считать, что комплексное число a' + b'i следует за комплексным числом и а + bi, если a' > a и b' > b. Любое множество комплексных чисел становится тогда частично упорядоченным. В частности, частично упорядоченным становится любое множество действительных чисел (рассматриваемых как специальный случай комплексных). Т. к. при этом порядок следования таков, что действительное число a' следует за действительным числом а тогда и только тогда, когда a' больше а, то всякое множество действительных чисел оказывается даже просто упорядоченным. Понятия частично упорядоченного (иначе - полуупорядоченного) и упорядоченного множества принадлежат к числу основных общих понятий математики (см. Множеств теория),

Вполне упорядоченные множества. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. е. элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции (см. Трансфинитные числа).

Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так что можно говорить о мощности данного порядкового типа. С др. стороны, конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы.

Направленные множества. Частично упорядоченное множество называется направленным, если для всяких его элементов х и у существует такой элемент z, что z ϕ̲ х и z ϕ̲ у (a ϕ̲ b означает, что либо a ϕ̲ b, либо а = b). Понятие направленного множества позволяет дать весьма общее определение предела. Пусть f (p) - числовая (для простоты) функция, заданная на направленном множестве М; число с называется пределом f (p) по направленному множеству М, если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент , что для всех p из М таких, что р ≥ р выполняется неравенство . Это определение позволяет установить все обычные свойства Предела и охватывает весьма широкий класс частных случаев.

Историческая справка. Теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 - понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906-07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского - расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее - в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; Куратовский К., Мостовскиq А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.

см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества.